Grid fokusering

Fokusering av grid i de laterale retningene

En funksjon som transformerer den uavhengige variable $\rho$, $0\le\rho\le1$, til en annen monotont økende avhengig variabel $r$, $0\le r\le1$ og som samtidig har flekisibilitet til Ã¥ fokusere grid punkter er den doble eksponensial funksjonen(Thompson et al., 1999):


$\displaystyle r=$ $\textstyle {\displaystyle A_{1}{\displaystyle \frac{e^{\frac{A_{2}}{A_{3}}\rho}-1}{e^{A_{2}}-1}},}$ $\displaystyle \qquad0\le\rho\le A_{3},\;0\le r\le A_{1},$ (1)
$\displaystyle r=$ $\textstyle A_{1}+(1-A_{1}){\displaystyle \frac{e^{A_{4}\frac{\rho-A_{3}}{1-A_{3}}}-1}{e^{A_{4}}-1}}$ $\displaystyle \qquad A_{3}\le\rho\le1,\; A_{1}\le r\le1,$ (2)

med parametrene $A_{1}$, $A_{2}$og$A_{3}$blir gitt av brukeren. Parameteren $A_{1}$er ønsket verdi av $r$ når $\rho=A_{3}$. $A_{2}$ er en strekingsparameter. Denne er brukt til å kontrollere grid oppløsningen i fokuspunktet. Hvis det normaliserte domenet har $N$ grid punkter blir ligning 1 evaluer i $\rho=A_{3}$ og $\rho=A_{3}-\frac{1}{N-1}$, som representerer nabopunktet. Differansen mellom disse verdiene av $r$settes deretter lik den ønskede normaliserte oppløsningen $\Delta r_{A_{3}}$. Dette fører til følgende ikkelineære problem
\begin{displaymath}
{\displaystyle A_{1}A_{2}\frac{\left(e^{A_{2}}-e^{-{\display...
...)}{A_{3}(N-1)}}}\right)}{A_{3}(e^{A_{2}}-1)}}=\Delta r_{A_{3}}
\end{displaymath} (3)

som løses for $A_{2}$ ved hjelp av Newton Rapson iterasjon (Dahlquist and Björk, 1974).

Den siste parameteren i ligning 2, $A_{4}$, blir justert automatisk for å sikre kontinuerlig deriverte når $\rho$ passerer gjennom $A_{3}$. En analytisk ligning for $A_{4}$ ved å derivere ligning. 1 og ligning 2 for $\rho$ og evaluere i $\rho=A_{3}$ som gir følgende ikkelineære ligning

\begin{displaymath}
{\displaystyle \frac{(1-A_{1})A_{4}}{(1-A_{3})(e^{A_{4}}-1)}}={\displaystyle \frac{A_{1}A_{2}e^{A_{2}}}{A_{3}(e^{A_{2}}-1)}}
\end{displaymath} (4)

som blir løst på samme måte som ligning 3.